Теорема о двух милиционерах

Графики функций ${\color {OliveGreen}y=x^{2}}$, ${\color {Blue}y=x^{2}\sin {\frac {1}{x}}}$ и ${\color {Orange}y=-x^{2}}$

Теорема о двух милиционерах — теорема в математическом анализе о существовании предела у функции, которая «зажата» между двумя другими функциями, имеющими одинаковый предел. Формулируется следующим образом:

Если функция $y=f(x)$ такая, что $\varphi (x)\leqslant f(x)\leqslant \psi (x)$ для всех $x$ в некоторой окрестности точки $a$, причём функции $\varphi (x)$ и $\psi (x)$ имеют одинаковый предел при $x\to a$, то существует предел функции $y=f(x)$ при $x\to a$, равный этому же значению, то есть

$\lim _{x\to a}\varphi (x)=\lim _{x\to a}\psi (x)=A\Rightarrow \lim _{x\to a}f(x)=A.$

Также такое название имеет аналогичная теорема о пределе последовательностей, формулирующаяся следующим образом:

Если последовательность $a_{n}$ такая, что $b_{n}\leqslant a_{n}\leqslant c_{n}$ для всех $n$, причём последовательности $b_{n}$ и $c_{n}$ имеют одинаковый предел при $n\to \infty$, то существует предел последовательности $a_{n}$ при $n\to \infty$, равный этому же значению, то есть

$\lim _{n\to \infty }b_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=A\Rightarrow \lim _{n\to \infty }a_{n}=A.$

Доказательство

Из неравенства $\varphi (x)\leqslant f(x)\leqslant \psi (x)$ получаем неравенство $\varphi (x)-A\leqslant f(x)-A\leqslant \psi (x)-A$. Условие $\lim \limits _{x\to a}\varphi (x)=A=\lim \limits _{x\to a}\psi (x)$ позволяет сказать, что для любого $\varepsilon >0$ существует окрестность $U_{a}$, в которой верны неравенства $\left|\varphi (x)-A\right|<\varepsilon$ и $\left|\psi (x)-A\right|<\varepsilon$. Из изложенных выше неравенств следует, что $\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$ при $x\in U_{a}$, что удовлетворяет определению предела, то есть $\lim \limits _{x\to a}f(x)=A$.

Название и зарубежная терминология

Название теоремы происходит из того факта, что если два милиционера под руки ведут задержанного в участок, то он вынужден идти вместе с ними.

В разных странах эта теорема называется по-разному. Теорема сжатия, теорема о промежуточной функции, теорема о двух карабинерах, теорема о сэндвиче (или правило сэндвича), теорема о трёх струнах, теорема о двух жандармах, теорема о двух городовых и пр.

См. также

• Предел последовательности
• Предел функции

Ссылки

• Обсуждение названия теоремы в разных странах